UNE APPROCHE DE LA NOTION DE DENSITÉ

Qu'est-ce que la densité d'une loi de probabilité continue?
Dans le cas de la loi normale , cette densité est la fonction f définie sur R par f(x)=1/(√(2π))e^-x²/2.
On suppose que X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et on réalise X un grand nombre de fois.
On regroupe ensuite les valeurs de X obtenues par plage de valeurs (histogramme).
Par exemple 25 rectangles sur un intervalle d'amplitude 10 donne des rectangles de largeur 0,4.
Si on réalise 1000 fois X et si on obtient sur ces 1000 valeurs 162 valeurs comprises entre -0,2 et 0,2 cela donne un rectangle de hauteur 162 et de base [-0,2 ; 0,2].
Ainsi la densité de valeurs observées sur cet intervalle est le nombre (plus exactement la fréquence) de valeurs observées sur cet intervalle divisé par l'amplitude de l'intervalle [-0,2 ; 0,2] soit 0,162/0,4=0,405.
C'est comme une densité de population sur un territoire qui est un quotient du nombre de personnes par la superficie du territoire considéré.
Si on prend un intervalle centré par exemple en 0 et de plus en plus petit , le nombre de valeurs observées sur cet intervalle va diminuer mais le même quotient que précédemment va lui se stabiliser vers une valeur qui sera la valeur de f en 0 qui vaut dans le cas de la loi normale à peu près 0,4.
Voici un lien qui permet de le comprendre.
On peut le faire pour f(a) en considérant des intervalles centrés en a de plus en plus petit.
Sur le lien nous pourrons observer qu'en effet les densités observées pour diverses similutions et pour des intervalles centrés en 0 sont proches de 0,4.
Si on prend 50 rectangles et 100000 tirages , on s'aperçoit que les rectangles restent proches de la coube rouge .
Cette courbe rouge n'est pas la densité puisqu'elle donne les effectifs des valeurs pour chaque intervalle.
Pour avoir la densité il faudrait diviser par 100000 pour obtenir des fréquences et encore par 0,2 amplitude des intervalles . Autrement dit faire un simple changement d'échelle.
Cette courbe ainsi obtenue est la représentation graphique de la fonction f donnée plus haut et s'appelle densité de la loi normale réduite.
Comme la densité est un quotient d'une fréquence de valeurs observées sur un intervalle par l'amplitude de cet intervalle , la fréquence est le produit de cette densité par l'amplitude de l'intervalle qui correspondrait à l'aire de rectangles dont la hauteur serait la densité.
Par analogie la probabilité théorique d'un intervalle est l'aire sous la courbe Cf et sur cet intervalle.
Voici un autre lien pour visualiser cette densité et obtenir des probabilités d'intervalleselon la loi normale.